Séminaire du jeudi 10 décembre 2009
Orateur: Filippo Santambrogio (Ceremade)
Titre: Foules et fluides: contraintes sur les densités et formulation flot-gradient
Résumé:
Des particules qui auraient la tendance, si isolée, à suivre un champ de vitesse
donné doivent satisfaire une contrainte d'incompressibilité et leur vitesse doit
être adaptée à la contrainte. En discret, on peut considérer un grand nombre
de petit disques qui sont contraints à éviter toute superposition. Tant qu'il n'y a
pas de contactes toute vitesse est admissible, mais après seules celles qui ne
rapprochent pas ultérieurement les disques qui se touchent sont admises.
La vitesse réalisée est alors la projection de celle spontanée sur cet ensemble
de vitesses admissibles et une étude théorique ainsi que numérique est possible.
Les résultats réproduisent ce qui se passe dans le cas les plus simple de mouvement
d'une foule qui souhaite sortir d'un grand espace avec une ou plusieurs portes
de sortie, mais le modèle est adapté à d'autre situations également.
En continu, c'est une densité \rho\leq 1 qui évolue d'après l'équation de
continuité \partial_t \rho + \nabla(\rho v)=0 et la vitesse réalisé v est la
projection de la vitesse spontanée sur l'ensemble de celles qui ont divergence
positive là où \rho=1. Il se trouve qu'on peut lier cette évolution, autrement
dure à analyser mathématiquement à cause de la faible régularité de v, au
flot-gradient d'une fonctionnelle sur l'espace des mesures de probabilité muni
de la distance du transport optimal. Cette approche, qui a déjà donné des
résultats très intéressants sur d'autres équations d'évolution, permet d'obtenir
un résultat d'existence (papier récent avec B. Maury et A. Roudneff-chupin).
Des nombreuses questions et généralisations restent pour l'instant ouvertes.
 |
CMLA UMR 8536 |
 |