Application au recalage et à l'estimation d'atlas en anatomie numérique / Applications to registration and atlas estimation.

Cette thèse s'articule autour de problématiques liées au domaine récent de l'anatomie numérique dont l'objet est de fournir des cadres à la fois mathématiques et numériques pour estimer la variabilité statistique au sein de populations de formes géométriques. Plus particulièrement, cette thèse se focalise dans un premier temps sur le cas d'ensemble de courbes, de surfaces ou sous-variétés en proposant une généralisation de précédentes méthodes de recalage par grandes déformations (LDDMM) basées sur les courants aux cas de formes non-orientées via la représentation des varifolds issue de la théorie géométrique de la mesure.

Dans un second temps, ce travail se penche sur l'étude d'objets géométrico-fonctionnels aussi baptisés 'formes fonctionnelles', c'est à dire de fonctions ou de signaux définis sur des supports géométriques variables entre les individus. On définit notamment la notion de métamorphoses géométrico-fonctionnelles pour généraliser celle de déformation à ce contexte ainsi que la notion de courant fonctionnel pour mesurer la dissimilarité entre deux formes fonctionnelles. Ceci débouche assez naturellement sur un tout nouveau cadre mathématique et algorithmique permettant d'étendre les outils usuels de recalage élastique.

Enfin, on s'intéresse à la situation plus générale de l'estimation et l'analyse d'atlas pour des ensembles de telles structures en proposant en particulier une formulation mathématique bien posée pour de tels problèmes ainsi qu'un algorithme d'estimation simultanée géométrie/fonction puis des outils pour l'analyse statistique et la classification.  Ces méthodes sont illustrées sur quelques jeux de données synthétiques et d'autres issues de l'imagerie biomédicale.